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Arrancamos estudiando convergencia absoluta:
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@Juan Hola! Fijate que si sacás factor común "el que manda" en el denominador, es decir, la , te queda:
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@Maggui Fijate Maggi que vos tenés esta serie:
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@Leon Nono, no desapareció, fijate que lo saqué de la serie como un número multiplicando (hay un signo menos ahí adelante del simbolo de sumatoria, se ve? O sea tenés toda la serie multiplicada por )
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gracias por responder, no se como no lo vi 🤦♂️
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Determine la convergencia o divergencia de las series que siguen. En caso de convergencia, decida si ésta es absoluta o condicional.
b)
b)
Respuesta
No lo aclaré en el anterior item, pero si o si lo tengo que avisar ahora: Para resolver este ejercicio es clave que primero hayas visto la clase de Series alternadas ;)
Esta serie se va a comportar igual que:
Y esta serie sabemos que diverge, por ser una serie con
Por lo tanto, por ahora podemos asegurar que nuestra serie no converge absolutamente.
Estudiamos ahora convergencia condicional usando el criterio de Leibniz. Para eso reescribimos nuestra serie así:
Ahora podemos estudiar convergencia condicional de la serie que nos quedó usando Leibniz, donde en este caso . Veamos si se cumplen las dos condiciones:
-> ✔️
-> es decreciente
Como vimos en clase, para probar esto primero calculamos la derivada, nos queda:
Escribimos esto como una única fracción, asi podemos ver más claramente el signo de la derivada.
El denominador es siempre positivo y fijate que, a partir de , el numerador es negativo. Con lo cual la derivada empieza a ser negativa a partir de . Como existe un a partir del cual podemos afirmar que es decreciente, entonces se cumple esta condición también.
Aclaración: En la mayoría de los ejercicios que siempre aparecen, la derivada es siempre negativa y listo, es estrictamente decreciente. Pero, para cumplir el criterio de Leibniz, en realidad basta con que haya un a partir del cual podamos asegurar que siempre va a ser decreciente.
Por lo tanto, nuestra serie converge condicionalmente al haber cumplido ambos items del criterio de Leibniz.
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Flor
PROFE
4 de julio 13:48
y ahora tenés en el numerador y el denominador, y usando que:
te queda:
porque el numerador tiende a 1 y el denominador tiende a infinito

Maggui
25 de junio 12:25
hola Flor, disculpa, pero no logro todavia entender como llegas a que la primer serie se va a comportar parecido a 1/√n... me pasa en general con todos los ejercicios, hay algun tip para saber como qué serie se va a comportar la serie original o es solo práctica?

Flor
PROFE
25 de junio 13:02
Pienso primero quién manda en el numerador y en el denominador, para imaginarme qué va a pasar cuando sea muuuuy grandfe: En el numerador, solo tenemos , así que bueno, queda eso. Ahora, en el denominador manda y ese no le va a hacer ni cosquillas cuando tienda a infinito... Por eso ya empezamos a deducir que nuestra serie seguramente se comporte igual que
y acá ya usamos reglas de potencias, fijate que:
ufff, listo jeje! O sea que:
Por lo tanto, nuestra serie habíamos deducido que se iba a comportar igual que y después, usando reglas de potencias, vimos que era lo mismo que tener escrito
y ahí ya seguis, porque esta es una serie que sabes que diverge :) Así que la comparas contra esta.

Leon
22 de junio 16:45
Buenas, por que desaparece ese (-1)? no deberia quedar el segundo termino de la multiplicacion negativo?


Flor
PROFE
23 de junio 12:12

Leon
25 de junio 7:58